Cours sur la théorie des noeuds

Chapitre 2Th´eorie des noeuds2.1 Notions de base3D´efinition 2.1.1. Un nœud K dansR est une sous-vari´et´e diff´eomorphe au cercle.Remarque 2.1.2. Par d´efaut on consid´erera des nœuds lisses. On obtient une th´eorie´equivalente en consid´erant des noeuds lin´eaires par morceau.1 3∼Exemple 2.1.3. Le noeud trivial : S ⊂C⊂C×R =R .2 3 2.1.4. La sph`ere unit´e de C est not´ee S . On utilisera la projection3 3∼st´er´eographique s : S \{(0,i)} R . Pour p et q premiers entre eux le noeud to-=rique K est l’image du plongement :p,q1 3γ : S 7! Rp,q1 p q√z 7! s( (z ,z ))2Exercice 2.1.5. Calculer un param´etrage du noeud K . Dessiner la projection sur lep,qpremier plan de coordonn´ees de K et K .2,3 3,23D´efinition 2.1.6. Un entrelacs L `a n composantes dans R est une sous-vari´et´ediff´eomorphe `a l’union disjointe de n cercles′ 3D´efinition 2.1.7. Une isotopie (ambiante) entre les deux nœuds K et K dansR estune application continue3 3h : [0,1]×R → R(t,x) 7! h(t,x) =h (x)t′3telle que : h =Id , h (K) =K , pour tout t, h est un diff´eomorphisme.0 1 tR′Les deux noeuds K et K sont isotopes si et seulement s’il existe une isotopie entre eux.′Si les nœudsK etK sont orient´es, on demande de plus queh respecte les orientations.18Remarque 2.1.8. La mˆeme d´efinition vaut pour les entrelacs. Il convient de pr´eciser siles composantes sont ordonn´ees ou non.Le probl`eme fondamental en th´eorie des nœuds est la classification `a isotopie pr`es.On obtient une classification ...