Cours-Methodesdirectes

66UNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUESLM5: Analyse Nume´rique Ele´mentaire,´Un exemple de Me´thode directe: METHODE de GAUSSI IntroductionOn se propose de re´soudre le syste`me de Cramer suivant:   a ... a b1,1 1,n 1 . .   .  n.AX = b ou` A= . . . ∈ Gl(n,R) (⇔ detA= 0) et b= . ∈R .   .. . .a ... a bn,1 n,n n x1 . n.ou` X = ∈R est l’inconnue. On sait qu’il existe une unique solution. .xnQuelques rappels sur les permutations de lignes et de colonnes dans les matrices:nSoit la matrice P qui permute le i ie`me vecteur et le j ie`me vecteur de la base canonique deR en fixant les autresi, jvecteurs de base:  1 0 0 0 . .. . . .  0 ... 0 ... 1 0  0 1 0 P == . i, j . ... . . .. .  0 ... 1 0 ... 0  .. . 00 ... 0 ... 0 1Alors la matrice P A est obtenue a` partir de A en e´changeant dans A la ligne i et la ligne j sans changer les autres. Lai, jmatrice AP est obtenue a` partir de A en e´changeant dans A la colonne i et la colonne j sans changer les autres.Remarquonsi, jque detP =−1,i= j et detP = 1.i, j i,iII Me´thode de GAUSS:1 Proce´de´ d’e´limination des variables:∗ Exemple:Avant l’algorithme ge´ne´ral , commenc¸ons par un exemple. La me´thode de Gauss consiste a` remplacer le syste`meinitial par un syste`me triangulaire e´quivalent. Soit le syste`me:(1) x +2y +2z = 2, l 1(1) (1) (1)(⋆) ⇔ A X = b ,x +3y +3z = 2, l2 (1)3x +7y +8z = 8. l3ou`:    1 2 2 2(1) (1)   A = 1 3 3 et b = 2 .3 ...