cours-fiches

Courbes de B´ezierBase de Bernstein de degr´e nFonctions de base des polynomes de degr´e n :n!n i i n i i n iB (t) = C t (1−t) = t (1−t) ∀t∈ [0,1] et 0≤i≤ni n i!(n−i)!Courbe de B´ezier ( )nXnCourbeC param´etr´ee polynomiale de degr´e n :C = P(t) = PB (t),t∈ [0,1]i ii=0{P ,P ,...,P } polygone de controˆle de la courbeC0 1 n( ) nX u−a u−anC = P(u) = PB ,u∈ [a,b] :t = ∈ [0,1]i ib−a b−ai=0Quelques propri´et´es g´eom´etriquesP2P3 = P(b)P1 P’(b)MP’’(b)P’(b) = c(P3−P2)P’’(b) = k(P3−2 P2+P1) = 2 k(M−P2)avec M = (P3+P1)/2P0 = P(a)El´evation de degr´ei n+1−iP = P + P pour 0≤i≤n+1i i 1 in+1 n+1Courbe [P ,P ,...,P ] = Courbe [P ,P ,...,P ]0 1 n 0 1 n+1P1P1P = ( 4P )/4 =P P =0 0 0 P0 0P = ( 1P + 3P )/41 0 1P = ( 2P + 2P )/42 1 2 P2P =PP = ( 3P + 1P )/43 2 3 3 4P = ( 4P )/4 =P4 3 3P P3 21Algorithme de De CasteljauDonn´ees : Polygone de controˆle{P ,P ,...,P } et t∈]0,1[0 1 n(1) P =P pour 0≤i≤n0,i i(2) P = (1−t)P +tP pour 0≤i≤n−j et 1≤j≤nj,i j 1,i j 1,i+1P = PP 2 0,2P = P 1,11 0,1P : P0 0,0PP 2,01,0P : P P1 0,1 2,0P P1,0P 2,11,1 P3,0P : P P2 0,2 n−1,0PP 1,2n,0Pn−1,1P = PP = P 3 0,3P : Pn−1 0,n−1 0 0,0P1,n−1P : Pn 0,n 0 t 1(a) P =P(t)n,0(b1){P ,P ,...,P } ={P } :0,0 1,0 n,0 i,0 0inpolygone de controˆle de la partie de la courbeC correspondant a` s∈ [0,t](b2){P ,P ,...,P } ={P } :0,n 1,n 1 n,0 i,n i 0inpolygone de controˆle de la partie de la courbeC correspondant a` s∈ [t,1](c) Subdivisions successives : convergence ...