Cours 2

MATH 5.3 Alg`ebre 4 E. EdoChapitre 2 : Groupe op´erant sur un ensemble1. Op´eration d’un groupe sur un ensemble.Soit G un groupe et soit X un ensemble. On dit que G op`ere dans X lorsqu’est d´efini un morphisme degroupe ` de G vers S(X).Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguit´e sur `, on note g:x = (`(g))(x) pour g 2 G et x2 X. Le fait que ` soitun morphisme s’exprime alors de la fa¸con suivante : pour tout g;h2G et x;y2X on a :1:x=x `(1)=Id,(gh):x=g:(h:x) `(gh)=`(g)–`(h),¡1 ¡1 ¡1g:x=y () x=g :y `(g )=`(g) .Si ` est injective, on dit que G op`ere fid`element sur X.Remarques : Soit ` une action d’un groupe G sur un ensemble X alors :1) G= op`ere fid`element sur X,ker(`)2) Si G op`ere fid`element sur X alors `(G) est isomorphe `a un sous-groupe de S(X).2. Stabilisateur et orbite.Soit G un groupe op´erant sur un ensemble X.Soit x2X. On note : Stab (x)=fg2G; g:x=xg‰G (le stabilisateur de x sous l’action de G)Get Ω (x)=fg:x; g2Gg‰X (l’orbite de x sous l’action de G).GTh´eor`eme L’ensemble des orbites forment une partition de X.Si X ne contient qu’une seule orbite (autrement dit si Ω(x) = Ω(y) pour tout x;y 2 X) on dit que Gop`ere transitivement sur X.Une orbite de cardinal 1 est dite ponctuelle. On note X =fx2 X; (8g 2 G)g:x = xg l’ensemble desGx2X dont l’orbite est ponctuelle.Exemples :1) Soit X un ensemble, le groupe sym´etrique S(X) op`ere (fid`element) sur X par l’identit´e.2) Soit G un groupe op´erant sur un ensemble X. Soit H un sous-groupe de G. Alors H ...