Cours-FI-V

126 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERESn2. Soit K = K=(1 + r) le prix d’exercice reactualise a la date d’echeance. Veri er lesequivalences suivantes22f = (K S ) () f = (K S )+ +n net22f = (S K) () f = (S K)+ +n n4.2 Modele binomial sur une periodeNous allons analyser dans cette premiere section, l’evolution d’un marche nancierelementaire a deux etats, sur une unite de temps n = 1. L’ev du prix d’une part d’un1 1titre sans risque S , a taux d’inter^et constant U = r > 0 est simplement donne par lesk kformules1 1S = 1 et S = (1 + r)0 1Le prix actuel d’une part du titre risque est connu avec certitude initialement2S = s 2 R = (0;1)0 +02A la periode suivante, S ne peut prendre que deux valeurs128!2 S (!)2fs ; s g avec 0 < s < s1;1 1;2 1;1 1;21Autrement dit, ce marche binomial evolue de deux fa cons di erentes. Pour un certain alea,1disons ! , nous avons1 1 1 2 1S (! ) = (S (! ); S (! )) = (1; s )0 00 01 1 1 2 1S (! ) = (S (! ); S (! )) = ((1 + r); s )1 1;11 12Dans un autre contexte aleatoire, disons pour un alea ! , on a plut^ ot2 1 2 2 2S (! ) = (S (! ); S (! )) = (1; s )0 00 02 1 2 2 2S (! ) = (S (! ); S (! )) = ((1 + r); s )1 1;21 1Le modele binomial sur une periode correspond au tableau des epreuves suivant :1 2 1 2 S = (S ; S ) S = (S ; S )0 10 0 1 11! (1; s ) ((1 + r); s )0 1;12! (1; s ) ((1 + r); s )0 1;2Ce marche nancier s’exprime donc de fa con naturelle sur l’espace des aleas1 2 =f! ; ! gmuni ...