version du septembre

Approximations diophantiennes Pierre Jammes (version du 10 septembre 2009) 1. Fractions continues 1.1. Généralités 1.1. Étant donnée une suite (an), on pose [a0, a1, . . . , an] = a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 . . . + 1 an = cn 1.2. Les réduites cn = pn qn sont déterminées par les relations de récurrence { pn = anpn?1 + pn?2 qn = anqn?1 + qn?2 avec { p?1 = 1 p0 = a0 q?1 = 0 q0 = 1 1.3. pn+1qn ? pnqn+1 = (?1)n pnqn?2 ? pn?2qn = (?1)nan cn+1 ? cn = (?1)n qn+1qn cn ? cn?2 = (?1)nan qn?2qn 1.4. pn pn?1 = [an, an?1, . . . , a0] qn qn?1 = [an, an?1, . . . , a1] 1.2. Développement d'un irrationnel On considère maintenant un irrationnel ? et on note [a0, a1, a2, . . .] sont développe- ment en fraction continue simple, c'est-à-dire que ai ? N? pour tout i. 1

• irrationalité


• ?n?1 ln


• ln qn


• qn qn?1


• brjuno ?


• irrationnel ?


• qn?? pn