Universite de Nice SL2M Algebre

Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Matrices symetriques reelles. 4. Calcul matriciel 4.1. Application bilineaire symetrique associee a une matrice symetrique. On considere une matrice symetrique A dans Mn(R). On appelle B la base canonique (e1, . . . , en) de Rn. (1) A une telle matrice est associee une application lineaire f de Rn dans Rn. Si ~x est un vecteur de Rn, on note X la matrice colonne de ses coordonnees dans la base canonique B. Le produit de matrices AX est une matrice colonne qui est la matrice dans la base canonique B d'un vecteur ~y de Rn. Ce vecteur est l'image de ~x par f . (2) A une telle matrice est associee une application bilineaire symetrique de Rn ?Rn dans R. On considere deux vecteurs ~x et ~y de Rn de matrices respectives X et Y dans la base B. Le produit de matrices tY AX est une matrice 1? 1, c'est-a-dire un reel. Remarquons que ce reel est le produit scalaire ?~y | f(~x)?. On notera ? l'application ? : Rn ?Rn ?? R (~x, ~y) 7?? ?~y | f(~x)?. On note que, puisque A est symetrique, tY AX = tX tAY = tXAY.

• produit scalaire


• application directe des proprietes du rang et du determinant


• matrice symetrique


• symetrique ?


• base orthonormee


• rn ?rn ??


• rang