Université de Lille

• fiche - matière potentielle : n

Université de Lille 1 U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math 314 Année 20082009 Fiche n o 4 Ex 1. La méthode de Monte-Carlo pour le calcul d'intégrales Soit f : [0, 1]? R une fonction continue. On se propose de donner une valeur approchée de m := ∫ 1 0 f(x) dx, par une méthode probabiliste appelée méthode de Monte-Carlo . Pour cela on utilise la simulation informatique d'une suite (Ui)i≥1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [0, 1]. On pose M2n := 1 2n 2n∑ i=1 f(Ui) et M˜2n := 1 2n n∑ i=1 (f(Ui) + f(1? Ui)) 1) Expliquer pourquoi X1 := f(U1) et Y1 := f(U1) + f(1?U1) sont intégrables et exprimer leur espérance à l'aide de l'intégrale m. 2) En vous appuyant sur un théorème du cours, montrer que les suites (M2n)n?N? et ( M˜2n ) n?N? convergent presque sûrement vers m quand n tend vers +∞. Ce résultat légitime pour n grand l'approximation de m par la valeur M2n(?) (ou M˜2n(?)) calculée à partir de l'échantillon généré par l'ordinateur.

• méthode de simulation de la loi binomiale


• loi binomiale


• statistiques d'ordre de l'échantillon


• fn


• réalisation de l'échantillon x1


• x1


• appelée méthode de monte-carlo