Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02948 ] [correction] a) Montrer que P admet n racines distinctes z ,...,z dansC.n 1 n a) Montrer que tout sous-groupe additif deR qui n’est pas monogène est dense b) Calculer le déterminant de  dansR. 1 +z 1 ··· 11?b) Soit x∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de (p,q)∈Z×N tels que  . .. . .1 1 +z . 2  p 1  . . . x− 2) Montrer que ω(E ) est fini.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 66 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 12 [ 02675 ] [correction] Exercice 18 [ 03023 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie. Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). Déterminer les f∈L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f On noteI ={P∈C [X]/P (u) = 0} etI ={P∈C [X]/P (u) est nilpotent}.1 2 possède un supplémentaire stable. a) Montrer queI etI sont des idéaux non nuls deC [X].1 2 On note P et P leurs générateurs unitaires respectifs.1 2 b) Etablir un lien entre P et P .1 2 c) Montrer l’existence de Q∈I tel que u−Q(u) est diagonalisable2Exercice 13 [ 02861 ] [correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice   Exercice 19 [ 03033 ] [correction]0 ··· 0 1  . . . Soient A et B dansM (R). On suppose que A est nilpotente et qu’il existen. . . . . . ∈M (R)  n P∈R [X] tel que P (0) = 1 et B =AP (A). Montrer qu’il existe Q∈R [X] tel que  0 ··· 0 1 Q(0) = 1 et A =BQ(B).