Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 03044 ] [correction] Exercice 7 [ 03351 ] [correction] ?Soit E un ensemble. Montrer que E est infini si, et seulement si, pour toute Soient a,b∈N\{0, 1} et n∈N . n nfonction f :E→E, il existe A⊂E avec A =∅ et A =E telle que f(A)⊂A. On suppose que a +b est un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2. Exercice 2 [ 03040 ] [correction] Exercice 8 [ 03039 ] [correction] 1Quelle est l’image du cercle unité par l’application z7→ ?1−z Soit z∈C avec|z|0 0 z +|z |n n ∀n∈N,z =n+1 2Exercice 4 [ 03353 ] [correction] Soient n> 3, ω ,...,ω les racines n-ième de l’unité avec ω = 1.1 n n a) Calculer pour p∈Z, Exercice 10 [ 03234 ] [correction] nX Soit (u ) une suite réelle vérifiantnpS = ωp i i=1 u −u → 0 et u → +∞n+1 n n b) Calculer Montrer qu’il existe une application ϕ :N→N strictement croissante vérifiant n−1X 1 u −n→ 0T = ϕ(n) 1−ωi i=1 Exercice 11 [ 03034 ] [correction] Soit f : [0, 1[→R uniformément continue. Montrer que f est bornée. Exercice 5 [ 03352 ] [correction] Soient a,b,c trois complexes distincts vérifiant Exercice 12 [ 03035 ] [correction] +|2a−b−c| =|2b−a−c| =|2c−a−b| Soit f :R →R continue et tendant vers 0 à l’infini. Montrer que f est uniformément continue. Montrer que le triangle dont les sommets ont pour affixes a,b,c est équilatéral. Exercice 13 [ 03105 ] [correction] Soit α un réel compris au sens large entre 0 et 1/e.