Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Géométrie

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00591 ] [correction] Exercice 7 [ 02921 ] [correction] a) Etudier la courbe SoitC la courbe d’équation polaire( 2 px = 3t r = cos(2θ) 3y = 2t a) TracerC. b) Donner une équation de la tangente et de la normale en M(t). b) Calculer la courbure aux points où elle est définie. c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe. c) l’aire délimitée par la courbeC. Exercice 2 [ 00630 ] [correction] Exercice 8 [ 02930 ] [correction] Donner la nature de la conique d’équation Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par 2 2 2 216x − 24xy + 9y + 25x− 50y = 0 x + 3xy + 2y −x− 2y + 1 = 0 Préciser les sommet, foyer et directrice. Exercice 9 [ 02932 ] [correction] 0 0Soient des réels a,b,a,b . Montrer que les courbes d’équation respectives Exercice 3 [ 01326 ] [correction] 2 0 0 2 0 2 0 233 (ax +by) + (ax +by) = 1 et (ax +ay) + (bx +by) = 1Soient a,b> 0 et Φ l’arc défini par x(t) =a cos t et y(t) =b sin t pour t∈R. a) Tracer Φ. sont isométriques. b) Quelle est la longueur de l’arc? c) Donner le rayon de courbure de Φ et lieu des centres de courbures. Exercice 10 [ 02933 ] [correction] Reconnaître et tracer la courbe d’équation Exercice 4 [ 01562 ] [correction] 2 213x − 32xy + 37y = 5Soient A(1, 0) et B(0, 2) dans un repère orthonormé (Oxy). Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant par A et B, et tangente respectivement à (Ox) et (Oy) en ces points.