Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Analyse

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02781 ] [correction] Exercice 6 [ 02812 ] [correction] 1/nn Soit f : ]0, +∞[→R telle queEtudier la convergence de la suite ba c , où a> 0. f(x)−f(x/2) limf(x) = 0 et lim √ = 1 x→0 x→0 x Exercice 2 [ 02782 ] [correction] Trouver un équivalent simple en 0 de f. Soient des réels positifs a et b. Trouver la limite de n1/n 1/n Exercice 7 [ 02813 ] [correction]a +b Soient f et g des fonctions continues de [0, 1] dans [0, 1] telles que f◦g =g◦f. 2 a) Montrer que l’ensemble des points fixes de f possède un plus grand et un plus petit élément. b) Montrer l’existence de c∈ [0, 1] tel que f(c) =g(c). Exercice 3 [ 02783 ] [correction] ?Soit (x ) une suite de réels positifs. On pose, pour tout n> 0,n n∈N Exercice 8 [ 02815 ] [correction] r 1 ?q Soient f unC difféomorphisme croissant de [0, 1] sur [0, 1] et n∈N . Montrer√ y = x + x +··· + xn 1 2 n que l’on peut trouver une suite (x ) telle que :k,n 16k6n nXk− 1 k 1a) Ici x =a pour tout n, où a> 0. Etudier la convergence de (y ).n n ∀k∈{1,...,n}, 6f(x )6 et =nk,nn 02 n n f (x )k,nb) Même question dans le cas où x =ab pour tout n, avec b> 0.n k=1 −n2c) Montrer que (y ) converge si, et seulement si, la suite (x ) est bornée.n n Exercice 9 [ 02816 ] [correction] Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral. Exercice 4 [ 02788 ] [correction] nP 1 −3Donner un développement asymptotique de k! à la précision o(n ).