Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02648 ] [correction] Exercice 8 [ 02661 ] [correction] ?Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose Soit p un nombre premier. On note Z l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N et pp ?AH ={ah/a∈A,h∈H}. Montrer que AH =H si, et seulement si, A⊂H. ne divise pas b. On note J l’ensemble des a/b où (a,b)∈Z×N , p divise a et pp ne pas b. a) Montrer que Z est un sous-anneau deQ.p b) Montrer que J est un idéal de Z et que tout idéal de Z autre que Z estp p p pExercice 2 [ 02649 ] [correction] inclus dans J .pSoit (G,.) un groupe fini tel que c) Déterminer les idéaux de Z .p 2 ∀g∈G,g =e où e est le neutre de G. On suppose G non réduit à{e}. Exercice 9 [ 02242 ] [correction]? nMontrer qu’il existe n∈N tel que G est isomorphe à ((Z/2Z) , +). ? 2Soient (n,p)∈ (N ) avec n>p, E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, u∈L(E,F ) et v∈L(F,E) vérifiant u◦v = Id .F a) Montrer que v◦u est un projecteur. Exercice 3 [ 02654 ] [correction] b) Déterminer son rang, son image et son noyau. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3. Exercice 10 [ 02662 ] [correction]√ √ √Exercice 4 [ 02656 ] [correction] Soit K =Q + 2Q + 3Q + 6Q.√ √ √Soient des entiers a> 1 et n> 0. a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est uneQ-base duQ-espace vectoriel K.nMontrer que si a + 1 est premier alors n est une puissance de 2. b) Montrer que K est un sous-corps deR.