Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02647 ] [correction] Exercice 8 [ 02821 ] [correction] +a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers (a ) et (b ) vérifiant Soit f :R →R uniformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs an n∈N n n∈N √ √ et b tels que|f(x)|6ax+b pour tout x> 0. n( 2+1) =a +b 2n n 2 2b) Calculer a −2b .n n Exercice 9 [ 02645 ] [correction]?c) Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique p∈N tel que 4P 2 kπCalculer cos .√ p√ 9n k=1( 2+1) = p+ p−1 Exercice 10 [ 02814 ] [correction]Exercice 2 [ 02646 ] [correction] 3 ix iy iz 2ix 2iy 2iz Soient x ,...,x des réels. Montrer qu’il existe i et j dans{1,...,13} tels que1 13Si (x,y,z)∈R vérifie e +e +e = 0, montrer que e +e +e = 0. √x−xi ji =j et 06 6 2− 3. Indice : Utiliser la fonction tan. 1+x xi j Exercice 3 [ 02928 ] [correction] 0Soient H une hyperbole, D et D ses asymptotes sécantes en O et M un point sur Exercice 11 [ 01972 ] [correction] 2H. Soit (a,b)∈R tel que a 5. Montrer que p −1 est divisible par 24. lorsque n→ +∞. Exercice 7 [ 00501 ] [correction] Exercice 14 [ 02787 ] [correction] nPSoit f une fonction croissante de [0,1] dans [0,1]. sin(kx)?Si n∈N et x∈R, soit f (x) = .n? k ka) Montrer que s’il existe x∈ [0,1] et k∈N tels que f (x) =x alors x est un k=1 point fixe pour f. Soit x le plus petit réel strictement positif en lequel f atteint un maximumn n b) Montrer que f admet un point fixe. local. Calculer limf (x ).