Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Avec Maple

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00087 ] [correction] Exercice 3 [ 02477 ] [correction] On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel. Soit (x ) la suite définie parn n>1 a) Résoudre sur l’intervalle I = ]1, +∞[ l’équation différentielle ?x > 0 et∀n∈N , x =x +n/x1 n+1 n n 10(E) : xy +y = lnx a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs de x . Commenter.1et expliciter (sous forme intégrale) la solution de (E) sur I, notée f, telle que b) Minorer x . Si (y ) vérifie la même relation de récurrence, étudier x −y .n n n>1 n nf(2) = 0. En déduire le comportement asymptotique de (x ).nQuel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel? b) Etudier les variations de f. Vérifier que f admet un maximum en un unique point d’abscisse x ∈I.0 Exercice 4 [ 02478 ] [correction]Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de x .0 +a) SubdiviserR en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenantc) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de f(x) quand une unique racine de l’équation (E) : tanxthx = 1.x→ +∞. On commencera par établir l’équivalent b) On range toutes les racines positives de (E) dans une suite strictement 1 croissante (x ) .n n>0f(x) ∼ x→+∞ lnx Evaluer numériquement les quatre premiers termes. c) Donner un développement asymptotique de x .+ nd) Déterminer un équivalent de f lorsque x→ 1 .