Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Analyse

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00246 ] [correction] Montrer que (v ) converge. Exprimer sa limite en fonction de ‘.n 1La fonction t7→ sin si t> 0 et 0 si t = 0 est-elle continue par morceaux sur c) Calculer ‘ en utilisant f(x) = ln(1 +x).t +[0, 1]? d) Si f deR dansC est continue et vérifie f(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite (v ).n Exercice 2 [ 00316 ] [correction] Exercice 6 [ 00323 ] [correction]n 2Montrer que l’équation x +x − 1 = 0 admet une unique racine réelle strictement Développement asymptotique à trois termes de : positive pour n> 1. On la note x . Déterminer la limite ‘ de la suite (x ) puis unn n néquivalent de x −‘. Xn k u = sinn 2n k=1 Exercice 3 [ 00317 ] [correction] nPour tout entier n> 2, on considère l’équation (E ) :x =x + 1 dont l’inconnuen Exercice 7 [ 00563 ] [correction] est x> 0. Soit (u ) une suite strictement croissante de réels de [0, 1] de limite 1. Déterminern a) Montrer l’existence et l’unicité de x solution de (E ).n n les fonctions f∈C([0, 1],R) vérifiant b) Montrer que (x ) tend vers 1.n +∞Xf(u x + 1−x)c) Montrer que (x ) admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisn n ∀x∈ [0, 1],f(x) = npremiers termes de ce développement limité.