Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02357 ] [correction] Exercice 8 [ 02365 ] [correction] Soit E un ensemble de cardinal n,R une relation d’équivalence sur E ayant k Soit p un nombre premier; on pose 2 n oclasses d’équivalence et G = (x,y)∈E /xRy le graphe deR supposé de kp 2 G = z∈C;∃k∈N,z = 1pcardinal p. Prouver qu’on a n 6kp. ?a) Montrer que G est un sous-groupe de (C ,×).p b) Montrer que les sous-groupes propres de G sont cycliques et qu’aucun d’euxp Exercice 2 [ 02358 ] [correction] n’est maximal pour l’inclusion. ?Pour n∈N , on désigne par N le nombre de diviseurs positifs de n et par P leur c) Montrer que G n’est pas engendré par un système fini d’éléments.p produit. Quelle relation existe-t-il entre n, N et P ? Exercice 9 [ 02366 ] [correction] Montrer que n oExercice 3 [ 02359 ] [correction] √ 2 2 4444 x +y 3/x∈N,y∈Z,x − 3y = 1Soit A la somme des chiffres de 4444 , B celle de A et enfin C celle de B. Que vaut C? ?est un sous-groupe de (R ,×).+ Exercice 10 [ 02367 ] [correction] Exercice 4 [ 02361 ] [correction] √ Soit A un sous-anneau deQ. Soit P∈Z [X] et a,b deux entiers relatifs avec b> 0 et b irrationnel.√ a) Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que a) Exemple : montrer que 6 est irrationnel.√ si p/q∈A alors 1/q∈A.nb) Quelle est la forme de (a + b) ?√ √ ?b) Soit I un idéal de A autre que{0}. Montrer qu’il existe n∈N tel que c) Montrer que si a + b est racine de P alors a− b aussi.