Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02356 ] [correction] Exercice 7 [ 00188 ] [correction] Soient a,b∈C. Montrer a) Soit f∈C ([0, 1],R). Etablir Z Zπ π π|a| +|b|6|a +b| +|a−b| tf(sint) dt = f(sint) dt 20 0 et préciser les cas d’égalité. b) En déduire la valeur de Z π 2nx sin (x) Exercice 2 [ 01321 ] [correction] I = dxn 2n 2n2 sin (x) + cos (x)0On se place dans le planR euclidien canonique 2 2Soient A(−1, 1) etC le cercle d’équation x +y = 2x. Déterminer les tangentes àC issues de A. Exercice 8 [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout Q∈R [X], Exercice 3 [ 03814 ] [correction] Z Z1 π iθ iθSoientC etD un cercle et une droite disjoints. Déterminer l’ensemble des centres Q(t) dt =−i Q(e )e dθ −1 0des cercles tangents à la fois àC etD. Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 9 [ 03337 ] [correction] 2 3a) Etudier les variations de la fonction x7→ 3x − 2x .Exercice 4 [ 00360 ] [correction] 1 b) Soit f : [0, 1]→R continue. MontrerDéterminer les fonctions f∈C (R,R) vérifiant Z Z3/2 1 f◦f =f 2 3 2 3f(3x − 2x ) dx = 2 f(3x − 2x ) dx −1/2 0 Exercice 5 [ 00057 ] [correction] 1Soit f∈C ([0, 1],R) avec f(0) = 0. Exercice 10 [ 00399 ] [correction] Soit P∈R [X]. Montrer qu’il y a équivalence entrea) Montrer que Z Z1 1 (i)∀x∈R,P (x)> 0;12 0 2f(t) dt6 f (t) dt 2 2 2(ii)∃(A,B)∈R [X] ,P =A +B .20 0 b) Si f(1) = 0, améliorer l’inégalité obtenue en a). Exercice 11 [ 02371 ] [correction] a) Soit n∈N.