Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Analyse

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 0Exercice 1 [ 00844 ] [correction] b) Exprimer g (x) en fonction de f(x) et de g(x) pour x> 0. Montrer que la suite réelle (x ) définie par x ∈ [a,b] et c) Pour 0 1 +xZ +∞ dx En déduire41 +x0 2 12 −t∀t∈R, 1−t 6 e 6 21 +t ?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes Exercice 9 [ 03794 ] [correction] Z Z ZConvergence et calcul de +∞ 1 +∞ 2 dtZ −t 2 n+∞ I = e dt, I = (1−t ) dt et J =1 n n 2 n(1 +t )ln 1 + dt 0 0 02t0 puis établir I I 6√ 6Jn n nExercice 10 [ 03375 ] [correction] a) Montrer que c) On pose x Z π/2∀x∈R, e > 1 +x nW = cos x dxn En déduire 0 2 12 −t Etablir∀t∈R, 1−t 6 e 6 21 +t I =W et J =Wn 2n+1 n+1 2n ?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes d) Trouver une relation de récurrence entre W et W .n n+2 Z Z Z+∞ 1 +∞ En déduire la constance de la suite de terme général 2 dt−t 2 nI = e dt, I = (1−t ) dt et J =n n 2 n(1 +t )0 0 0 u = (n + 1)W Wn n n+1 puis établir e) Donner un équivalent de W et en déduire la valeur de I.n I √I 6 6Jn n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 3 Exercice 12 [ 03385 ] [correction] Exercice 15 [ 02516 ] [correction] a) Etudier l’intégrabilité sur ]1, +∞[ de Soient nY1 1 √ u = (3k− 2) et v =n nn 3/4lnx 3 n! n k=1f(x) = √ (x− 1) x a) Montrer que pour n assez grand, b) Montrer u vn+1 n+1Z >3 ln 3 u vn nf(x) dx6 2 P2 unb) En déduire que u diverge.