Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00074 ] [correction] a) En appliquant le théorème du rang à la restriction h de f à l’image g, montrer Pour p∈N et a∈R\{0, 1}, on note S l’ensemble des suites (u ) vérifiant quep n rgf +rgg−n6 rg(f◦g) ∃P∈R [X],∀n∈N,u =au +P (n)p n+1 n 2b) Pour n = 3, trouver tous les endomorphismes de E tels que f = 0. a) Montrer que si u∈S , P est unique; on le notera P .p u b) Montrer que S est unR-espace vectoriel.p Exercice 6 [ 03359 ] [correction] c) Montrer queφ, qui àu associeP , est linéaire et donner une base de son noyau.u Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E surR ouC vérifiant Que représente son image? f◦g = Id.k kd) Donner une base de S (on pourra utiliser R (X) = (X + 1) −aX pourp k a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img. k∈ [0,p]). b) Montrer e) Application : déterminer la suite (u ) définie parn E = kerf⊕Img −1u =−2 et u = 2u − 2n + 70 n+1 n c) Dans quel cas peut-on conclure g =f ? d) Calculer (g◦f)◦ (g◦f) et caractériser g◦f Exercice 2 [ 02504 ] [correction] Exercice 7 [ 03701 ] [correction]Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie E. On note E l’espace vectorielR [X] et e = (e ,e ,e ) la base duale de la basea) Montrer que|rg(u)−rg(v)|6 rg(u +v)6 rg(u) +rg(v). 2 1 2 3 ?2 canonique de E. On note v et w les éléments de E définis parb) Trouver u et v dansL(R ) tel que rg(u +v) 1.