Sujet Oraux : CCP, Banque Exo 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02576 ] [correction] Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E. Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par c) Majorer Z 1√ −xr = 2 (cosθ− cos 2θ) xe dx 0 Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètre θ =π. en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Exercice 2 [ 03518 ] [correction] a) On considère deux suites réelles (u ) et (v ) telles que u ∼v .n n n n Exercice 6 [ 03522 ] [correction] Démontrer que u et v sont de même signe à partir d’un certain rang.n n SoientF(R,R) l’espace vectoriel des applications deR dansR, E le sous-espace b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de vectoriel engendré par les cinq applications : √1 1 f :x7→ 1/ 2, f :x7→ cosx, f :x7→ sinx, f :x7→ cos(2x) et f :x7→ sin(2x)u = sh − tan 1 2 3 4 5n n n et F le sous-espace vectoriel par f ,f et f :1 2 3 Exercice 3 [ 03519 ] [correction] F = Vect(f ,f ,f )1 2 3 Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle x a) Démontrer que0y + y = 2x Z π21−x 1 (f,g)7→hf|gi = f(x)g(x) dx π −π Exercice 4 [ 03520 ] [correction] est un produit scalaire sur E. Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer que f et f sont unitaires et orthogonaux.4 5 a) Démontrer que On admettra dans la suite queB = (f ) est une base orthonormée de E.i i=1,...,5 ⊥ ⊥E =A⊕A c) Déterminer le sous-espace vectoriel F , orthogonal de F pour ce produit scalaire.