Sujet : Géométrie, Géométrie des surfaces, Quadriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Quadriques Exercice 7 [ 00650 ] [correction] Soit Σ la surface d’équation Exercice 1 [ 00646 ] [correction] 2 2 2x y z Déterminer la nature de la quadrique + − = 1 2 2 2a b c Σ :z =xy a) Reconnaître Σ. b) Montrer que les intersections de Σ avec des plans horizontaux sont des ellipses Donner une équation de son plan tangent en un point M(x ,y ,z ).0 0 0 de même excentricité. Exercice 2 [ 00647 ] [correction] Exercice 8 [ 00651 ] [correction] Nature de la quadrique a) Déterminer la nature de la surface d’équation 2 2 2Σ :z =λ +x +y 2 2z =x −y selon le paramètre λ. b) Par un point donné de cette surface, combien y a-t-il de droites passant par ce point et entièrement incluse dans cette surface? Exercice 3 [ 00648 ] [correction] c) Quel est le lieu des points où ces droites sont orthogonales? Déterminer la nature de la quadrique Σ :xy +yz +zx =λλ Exercice 9 [ 00652 ] [correction] a) Déterminer la nature de la surface Σ d’équation 2 2 2x +y −z = 1Exercice 4 [ 00347 ] [correction] Déterminer la nature de la quadrique b) Montrer que par tout point de Σ passent exactement deux droites tracées sur Σ. Σ :xy +yz +zx = 1 Exercice 10 [ 00653 ] [correction] Soit Σ une quadrique de centre O. Montrer que tout plan passant par l’origineExercice 5 [ 03513 ] [correction] coupe Σ en des points pour lesquels les plans tangents sont parallèles à une droiteDéterminer la nature de la quadrique commune.