Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Théorème des fonctions implicites

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Théorème des fonctions implicites Exercice 6 CCP MP [ 03369 ] [correction] 2Soit f définie surR par Exercice 1 [ 00610 ] [correction] 3 3 f(x,y) =x +y −3xy−1 a) Montrer que la relation 4 3 2 a) Montrer que la condition f(x,y) = 0 définit au voisinage de (0,1) une fonctionx +y −2x y−1 = 0 implicite x7→y =φ(x). définit implicitement y en fonction de x au voisinage de (0,1). b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ au voisinage de 0. b) Former un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à x associe y. Exercice 2 [ 00611 ] [correction] Montrer que la relation xsiny+y+e = 1 définit implicitement y en fonction de x au voisinage de (0,0). Régularité de la fonction ainsi définie et développement limité à l’ordre 3 en 0? Exercice 3 [ 00612 ] [correction] Montrer que la relation 3 2 4y +(x +1)y+x = 0 définit implicitement y en fonction de x surR et l’application ϕ :x7→y est de ∞classeC surR. Exercice 4 CCP MP [ 03370 ] [correction] 2Soit f définie surR par 3 3f(x,y) =x +y −3xy−1 a) Montrer que la condition f(x,y) = 0 définit au voisinage de (0,1) une fonction implicite x7→y =φ(x). b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ au voisinage de 0. Exercice 5 [ 03512 ] [correction] 2 1Soit f :R →R une fonction de classeC vérifiant ∂f ∂f f(0,0) = 0, (0,0) =−1 et (0,0) = 0 ∂x ∂y Montrer que la relation f(f(x,y),y) = 0 définit implicitement y en fonction de x au voisinage de (0,0).