Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées polaires classiques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Courbes en coordonnées polaires classiques Exercice 4 [ 00604 ] [correction] [Strophoïde droite] a) Etudier la courbe d’équation polaireExercice 1 [ 00601 ] [correction] [Cardioïde] cos 2θ On considère la cardioïde Γ d’équation polaire r = 1 + cosθ de point courant r = sinθ M(θ). a) Etudier et représenter la courbe Γ. 0 b) On note F et on considère P un point de l’axe (Ox) autre que O.b) Montrer que le milieu I(θ) du segment d’extrémités M(θ) et M(θ +π) évolue −1 sur un cercleC que l’on précisera. Calculer la longueur I(θ)M(θ). Montrer que les points M intersection de la droite (FP ) et de la courbe sont telsc) On note J(θ) le point du cercleC diamétralement opposé au point I(θ). −−−→ que PM =PO. Exprimer OJ(θ) en fonction de θ et du vecteur~v de la base polaire.θ c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée. d) A quelle(s) condition(s) a-t-on J(θ) =M(θ)? On suppose désormais ce cas exclu. e) Montrer que la droite joignant les points J(θ) et M(θ) est orthogonale à la Exercice 5 [ 00605 ] [correction] tangente à Γ en M(θ) [Trisectrice de Mac Laurin 1698-1746] f) Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du 1a) Etudier la courbe d’équation polaire r = pour θ∈ ]−3π/2, 3π/2[. cos(θ/3)cercleC, de construire les points M(θ) et les tangentes à Γ en ces points. On précisera notamment la tangente en θ =π.