Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées cartésiennes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Courbes en coordonnées cartésiennes Exercice 5 [ 01348 ] [correction] Etudier la courbe définie par (Exercice 1 Mines-Ponts MP [ 03064 ] [correction] 2x = cos t + ln|sint| [Astroïde] y = cost sinta) Etudier et représenter la courbe définie par ( 3 x = cos t 3 Exercice 6 CCP MP [ 02581 ] [correction]y = sin t Etudier et représenter ( 2b) Trouver le lieu des points H tels que H est le projeté orthogonal de O sur la x(t) = cos t + ln|sint| normale à la courbe en un point donné y(t) = sint cost Exercice 2 [ 00587 ] [correction] Exercice 7 CCP PSI [ 03386 ] [correction] Soit t7→M(t) un arc régulier tel qu’en tout point M(t) la tangente soit a) Etudier les variations de 3 3D : (t + 3t)x− 2y =tt 3 3t x = et y = 2 2t +t + 1 t +t + 1Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le représenter. b) Montrer que la courbe C ainsi définie est inscrite à l’intérieur d’un carré à préciser. c) Donner l’allure de C. Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 00591 ] [correction] d) une équation cartésienne de C, quelle est la nature de C? a) Etudier la courbe ( 2x = 3t 3y = 2t b) Donner une équation de la tangente et de la normale en M(t). c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe. Exercice 4 [ 00590 ] [correction] a) Etudier et représenter la courbe définie par ( 3x = 4t 4y = 3t b) Former une équation de la tangente au point de paramètre t∈R.