Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes du plan

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Courbes du plan Exercice 1 [ 00576 ] [correction] 2Quels sont les arcs réguliers de classeC de courbure constante? Exercice 2 [ 00577 ] [correction] 2 2Quels sont les arcs biréguliers de classeC vérifiant R = 1 +s où R désigne le rayon de courbure au point courant? Exercice 3 [ 00578 ] [correction] √ 2 2Quels sont les arcs biréguliers de classeC vérifiant R = 1−s où R désigne le rayon de courbure au point courant? Exercice 4 [ 00575 ] [correction] 1 2Soit f unC difféomorphisme d’un ouvert U vers un ouvert V deR . a) Montrer que si Γ = (I,M) est un arc régulier inscrit dans U alors l’arc f(Γ) = (I,f◦M) est aussi un arc régulier. b) Montrer que si en tout a∈U, df(a) est une similitude directe alors f conserve ˜les angles orientés dans le sens suivant : si Γ et Γ sont deux arcs réguliers se ˜coupant en M alors f(Γ) et f(Γ) se coupent en f(M) et l’angle entre les tangentes en M est égal à l’angle entre les tangentes en f(M). 2c) Soit f l’application deR\{O} vers lui-même d’expression complexe z7→ 1/z. Montrer que f conserve les angles orientés. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02918 ] [correction] 1 + +Soit f∈C (R ,R). Si x∈R , on note P le point intersection de la tangente aux graphe de f au point d’abscisse x avec Ox. −−→ a) Montrer, si OP a une limite quand x→ +∞ que le graphe de f a unex asymptote. b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.