Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes définies par une équation

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Courbes définies par une équation Exercice 1 [ 00607 ] [correction] [Folium de Descartes] 2Soit Γ la courbe du planR d’équation cartésienne : 3 3x +y = 3xy a) SoitD la droite passant par O et de pente égale à t. DéterminerD ∩ Γ.t t En déduire un paramétrage de Γ en coordonnées cartésiennes. b) Etudier et représenter Γ. c) Calculer l’aire de la boucle de Γ. Exercice 2 [ 00608 ] [correction] Construire la courbeC d’équation cartésienne 2 2 2x(x −y ) +y = 0 (indice : on pourra chercher les points communs àC et une droiteD de pente tt passant par O) Exercice 3 [ 00609 ] [correction] Construire la courbeC d’équation cartésienne 3 2 2 2y − 3x y− (x +y ) = 0 (indice : on pourra passer en coordonnées polaires) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] 23t 3ta)D :y =tx, M(x,y)∈D ∩ Γ⇔ (x,y) = (0, 0) ou (x,y) = , .t t 3 31+t 1+t 0Soit Γ la courbe définie par le paramétrage :  3tx = 31 +t 2 3ty = 31 +t 0avec t∈R. Clairement Γ ⊂ Γ. Inversement, soit M(x,y)∈ Γ. Si M∈ (Oy) alors x = 0 puis y = 0 donc 0M =O∈ Γ (en prenant t = 0). 0 0Sinon M∈D ∩ Γ (avec t =y/x) et donc M∈ Γ . Finalement Γ = Γ .t ∞b) L’application t7→M(t) est définie et de classeC surR−{−1}.