Sujet : Analyse, Topologie, Théorème de Weierstrass

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de Weierstrass Exercice 6 [ 01145 ] [correction] [Théorème de Weierstrass : par les polynômes de Bernstein] Pour n∈N et k∈{0,...,n}, on poseExercice 1 [ 01140 ] [correction] !Soit f : [a,b]→C continue. Montrer n k n−kB (x) = x (1−x)n,kZ b k intf(t)e dt−−−−→ 0 n→+∞a a) Calculer n n n1 X X XOn pourra commencer par étudier le cas où f est une fonction de classeC . 2B (x), kB (x) et k B (x)n,k n,k n,k k=0 k=0 k=0 b) Soient α> 0 et x∈ [0,1]. On forme Exercice 2 [ 01141 ] [correction] Soit f : [0,1]→R continue. Montrer que si pour tout n∈N, A ={k∈ [0,n]/|k/n−x|>α} et B ={k∈ [0,n]/|k/n−x| 0. Montrer qu’il existe une suite (P ) de 2 nn a = (1−t ) dtn polynômes telle que P > 0 sur [a,b] et sup |f(t)−P (t)|−−−−→ 0. −1n n n→+∞t∈[a,b] et on considère la fonction ϕ : [−1,1]→R définie parn 1 2 nϕ (x) = (1−x )n aExercice 5 [ 01144 ] [correction] n 1Soit f : [a,b]→R de classeC . Montrer qu’il existe une suite (P ) de polynômesn R1 2 na) Calculer t(1−t ) dt. En déduire quetelle que 0 0 0N (f−P )→ 0 et N (f −P )→ 0 Z∞ n ∞ n 1 12 na = (1−t ) dt>n n+1−1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 2 b) Soit α∈ ]0,1]. Montrer que (ϕ ) converge uniformément vers la fonction nullen sur [α,1]. 2. Soit f une fonction continue deR versR nulle en dehors de [−1/2,1/2]. a) Montrer que f est uniformément continue.