Sujet : Analyse, Topologie, Ouverts et fermés

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Ouverts et fermés Exercice 6 Centrale MP [ 01108 ] [correction] Soit E leR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme Exercice 1 [ 01103 ] [correction] kuk = sup|u |n∞Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante n∈N d’ouverts. Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A ={suites croissantes}, B ={suites convergeant vers 0}, C ={ convergentes}, Exercice 2 [ 01104 ] [correction] 0 D = suites admettant 0 pour valeur d adhérence et E ={suites périodiques}.2On désigne par p et p les applications coordonnées deR définies par1 2 p (x ,x ) =x .i 1 2 i 2a) Soit O un ouvert deR , montrer que p (O) et p (O) sont des ouverts deR.1 2 Exercice 7 [ 01110 ] [correction]2 2b) Soit H = (x,y)∈R |xy = 1 . Montrer que H est un fermé deR et que (N)On noteR l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. p (H) et p (H) ne sont pas des fermés deR.1 2 (N) ∞a) Montrer queR est un sous-espace vectoriel de ‘ (R). c) Montrer que si F est fermé et que p (F ) est borné, alors p (F ) est fermé.2 1 b) Est-il ouvert? c) Est-il fermé? Exercice 3 [ 01105 ] [correction] Montrer que si un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel normé E est Exercice 8 [ 01112 ] [correction] ouvert alors F =E. Soient E et E deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que1 2 E =E ∪E .