Sujet : Analyse, Topologie, Intérieur et adhérence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Intérieur et adhérence Exercice 8 [ 01119 ] [correction] On suppose que A est une partie convexe d’un espace vectoriel normé E. ¯a) Montrer que A est convexe.Exercice 1 [ 01113 ] [correction] ◦b) La partie A est-elle convexe?Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. ◦ Montrer que si =∅ alors F =E.F Exercice 9 [ 01120 ] [correction] Exercice 2 [ 01114 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel normé (E,N). Etablir ◦ ◦ ¯ ¯ ¯ ¯a) On suppose A⊂B. Etablir A ⊂B et A⊂B. d(A,B) =d(A,B) ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦b) Comparer (A∩B) et A ∩B d’une part puis (A∪B) et A ∪B d’autre (en notant d(A,B) = inf d(x,y))part. x∈A,y∈B ¯ ¯ ¯ ¯c) Comparer A∪B et A∪B d’une part puis A∩B et A∩B d’autre part. Exercice 10 [ 01121 ] [correction]Exercice 3 [ 01115 ] [correction] ¯ Soient A ,...,A des parties d’un espace vectoriel normé E.1 nMontrer que si F est un sous-espace vectoriel de E alors son adhérence F est n nS Saussi un sous-espace vectoriel de E. a) Etablir A = A .i i i=1 i=1 n nT T b) Comparer A et A .i i Exercice 4 [ 03279 ] [correction] i=1 i=1 Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. Etablir ¯Vect(A)⊂ VectA Exercice 11 [ 01122 ] [correction] Soient f :E→F continue bornée et A⊂E, A non vide. Montrer Exercice 5 [ 01116 ] [correction] kfk =kfk ¯Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E.