Sujet : Analyse, Topologie, Densité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Densité Exercice 7 [ 00023 ] [correction] a) Montrer que{cos(n)/n∈N} est dense dans [−1, 1]. ?b) Montrer que{cos(lnn)/n∈N} est dense dans [−1, 1].Exercice 1 [ 01130 ] [correction] Montrer que GL (R) est dense dansM (R).n n On pourra considérer, pour A∈M (R), les matrices de la forme A−λI .n n Exercice 8 [ 01134 ] [correction] (N)On noteR l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. (N) 1a) Montrer queR est dense dans ‘ (R). Exercice 2 [ 01131 ] [correction] (N) ∞b)R est-il dense dans ‘ (R)? Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. ¯a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense. Exercice 9 [ 01135 ] [correction] Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables deM (C) est dense dansn M (C).n Exercice 3 [ 01132 ] [correction] Soient U et V deux ouverts denses d’un espace vectoriel normé E. Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02779 ] [correction]a) Etablir que U∩V est encore un ouvert dense de E. Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé (E,kk) est dense ou ferméb) En déduire que la réunion de deux fermés d’intérieurs vides est aussi d’intérieur dans E.vide.