Sujet : Analyse, Topologie, Continuité et topologie

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité et topologie Exercice 8 [ 03393 ] [correction] Soit f : [0, 1]→ [0, 1] une application continue vérifiant Exercice 1 [ 01123 ] [correction] f◦f =f2 2 2 3 3 2Justifier que U = (x,y)∈R /x +y 0, B(f(a),ε) est un ouvert2 2continue. Or un ouvert relatif àR n’est autre qu’un ouvert deR . de F dont ◦−1 −1f (B(f(a),ε))⊂ f (B(f(a),ε)) ◦−1 −1Exercice 2 : [énoncé] Or a∈f (B(f(a),ε)) donc a∈ f (B(f(a),ε)) . Par conséquent, il existe L’application det :M (R)→R est polynomiale en les coefficients matriciels, ellen α> 0 tel que ?est donc continue. Puisque GL (R) est l’image réciproque de l’ouvertR par cette −1n B(a,α)⊂f (B(f(a),ε)) application continue, GL (R) est un ouvert relatif àM (R), c’est donc un ouvertn n Ainsi nous obtenonsdeM (R).n ∀a∈E,∀ε> 0,∃α> 0,∀x∈E, x∈B(a,α)⇒f(x)∈B(f(a),ε) Exercice 3 : [énoncé] ce qui correspond à la continuité de f.Par le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz (x,y) est libre ⇔|(x|y)|nn n déterminant extrait non nul et est donc de rang supérieur à p. Ainsi la matrice A En posantest intérieure à R .p 1 y = xn n ku(x )kn Exercice 5 : [énoncé] Non obtient une suite (y )∈A vérifiant y → 0 .n n¯(i)⇒ (ii) Supposons f continue et introduisons A⊂E. Tout élément y de f(A) Or 0∈/ A donc la partie A n’est pas fermée. est l’image par f de la limite x d’une suite convergente (x ) d’éléments de A. Orn f étant continue, f(x )→y et donc y est limite d’une suitet de f(A).