Sujet : Analyse, Topologie, Continuité et densité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Continuité et densité Exercice 7 [ 03275 ] [correction] Montrer ∀A,B∈M (R),com(AB) = com(A)com(B)nExercice 1 [ 01136 ] [correction] Soit f :R→R continue vérifiant ∀x,y∈R,f(x+y) =f(x)+f(y) Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 03288 ] [correction] Soient A,B,C,D des matrices carrées d’ordre n, réelles et commutant deux à Déterminer f. deux. Montrer la matrice A B M = C D Exercice 2 [ 01139 ] [correction] est inversible si, et seulement si, AD−BC l’est.Soit f :R→R une fonction continue telle que x+y 1 ∀x,y∈R,f = (f(x)+f(y)) 2 2 p a) Montrer queD = /p∈Z,n∈N est dense dansR.n2 b) Montrer que si f s’annule en 0 et en 1 alors f = 0. c) Conclure que f est une fonction affine. Exercice 3 [ 01137 ] [correction] Montrer que pour tout A,B∈M (C), χ =χ .n AB BA Exercice 4 [ 01138 ] [correction] Soit n> 2. Calculer det(comA) pour A∈M (C).n Exercice 5 [ 03128 ] [correction] Soient n∈N avec n> 2. a) Soient A∈M (C) et P∈ GL (C).n n −1 −1Exprimer la comatrice de P AP en fonction de P, P et de la comatrice de A. b) En déduire que les comatrices de deux matrices semblables sont elle-même semblables. Exercice 6 Centrale MP [ 00750 ] [correction] ePour A∈M (K), on note A la transposée de la comatrice de A.n ea) Calculer detA. eb) Etudier le rang de A. e ec) Montrer que si A et B sont semblables alors A et B le sont aussi. eed) Calculer A. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.