Sujet : Analyse, Suites numériques, Etude de suites récurrentes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de suites récurrentes a) Justifier que la suite (u ) est bien définie etn ∀n∈N,u ∈ [−2, 2]nExercice 1 [ 02304 ] [correction] Etudier la suite (u ) définie parn b) Quelles sont les limites finies possibles pour (u )?n c) Montrer que (|u − 1|) converge puis que lim|u − 1| = 0. En déduire limu .2 n n nu =a∈R et∀n∈N, u =u0 n+1 n Exercice 8 [ 02310 ] [correction] Exercice 2 [ 02305 ] [correction] Soit a∈C tel que 0 0 et (u ) la suite définie par u > 0 etn 0 1 a ∀n∈N,u = u +n+1 nExercice 4 [ 02306 ] [correction] 2 un Etudier la suite (u ) définie parn a) Etudier la convergence de la suite (u ).n u > 1 et∀n∈N,u = 1 + lnu0 n+1 n b) On pose pour tout n∈N √ u − an √v =n u + an Exercice 5 [ 02307 ] [correction] Calculer v en fonction de v , puis v en fonction de v et n.n+1 n n 0Etudier la suite (u ) définie par √n c) Montrer que, si u > a, on a0 un u ∈R et∀n∈N,u = e − 1 √ n0 n+1 2 u − a 6 2u .vn 0 0 √ n2Ainsi, u réalise une approximation de a à la précision 2u .v → 0.n 0 0Exercice 6 [ 02308 ] [correction] n∞ √ On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de a.Etudier la suite (u ) définie parn 1 u > 0 et∀n∈N,u =0 n+1 2 +un Exercice 10 [ 02313 ] [correction] On considère l’équation lnx +x = 0 d’inconnue x> 0. a) Montrer que possède une unique solution α.