Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Suites de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites de fonctions Exercice 8 X MP [ 02969 ] [correction] Soit I un intervalle ouvert; soit pour n∈N, f :I→R une fonction convexe. Onn suppose que (f ) converge simplement. Montrer que (f ) converge uniformémentn nExercice 1 [ 00868 ] [correction] sur tout segment inclus dans I.Etablir que la limite simple d’une suite de fonctions de I versR convexes est convexe. Exercice 9 [ 00888 ] [correction] Soit f : [0,1]→R décroissante et continue telle que (f ) converge simplementn n Exercice 2 [ 00885 ] [correction] vers la fonction nulle. Soient (f ) une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction fn Montrer que cette convergence est uniforme. et g une fonction uniformément continue. Montrer que (g◦f ) convergen uniformément. Exercice 10 [ 00889 ] [correction] [Théorème de Dini] Exercice 3 [ 00884 ] [correction] Soient des fonctions f : [a,b]→R continues telles que la suite de fonctions (f )n n Soient (f ) et (g ) deux suites de fonctions convergeant uniformément vers desn n converge simplement vers la fonction nulle. fonctions f et g supposées bornées. Montrer que (f g ) converge uniformémentn n On suppose que pour tout x∈ [a,b], la suite réelle (f (x)) est décroissante. Onn vers fg. désire montrer que la convergence de la suite (f ) est uniforme.n a) Justifier l’existence de lim kf kn ∞n→+∞Exercice 4 [ 00878 ] [correction] Soit (f ) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a,b].