Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Intégration terme à terme d'une série de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégration terme à terme d’une série de fonctions b) Calculer cette somme sachant +∞ 2X 1 πExercice 1 [ 00928 ] [correction] = 2n 6Montrer que n=1 Z +∞+∞ Xt 1 dt = t 2e − 1 n0 n=1 Exercice 6 [ 00932 ] [correction] Etablir Z +∞1 Xdx 1 =Exercice 2 [ 00929 ] [correction] x nx n0 n=1Etablir que Z +∞1 n−1Xlnt (−1) dt = 2 21 +t (2n + 1)0 Exercice 7 Mines-Ponts MP - CCP MP [ 00933 ] [correction]n=0 Etablir Z +∞1 n−1X (−1)xx dx = nExercice 3 CCP MP [ 03781 ] [correction] n0 n=1 Prouver l’égalité Z +∞1 2 nX(lnx) (−1) dx = 2 2 3 Exercice 8 [ 00934 ] [correction]1 +x (2n + 1)0 n=0 Etablir que pour p> 2, Z +∞1 p X(lnx) 1pdx = (−1) p!Exercice 4 [ 00930 ] [correction] p+11−x n0 n=1a) Etablir Z Z1 1arctant lnt dt =− dt 2t 1 +t0 0 Exercice 9 [ 00935 ] [correction] b) En déduire Déterminer la limite quand n→ +∞ de Z +∞1 nXarctant (−1) Z +∞ −x/ndt = 1 e 2t (2n + 1) dx0 n=0 2n 1 + cos x0 Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement 0, 916. Exercice 10 Centrale MP [ 00939 ] [correction] Soient α> 0, n∈N. On poseExercice 5 [ 00931 ] [correction] Za) Etablir π/2 Z Z1 1 α nu (α) = (sint) (cost) dtln(1 +t) lnt n dt =− dt 0 t 1 +t0 0 a) Nature de la série de terme général u (1).na) En déduire b) Plus généralement, nature de la série de terme général u (α).Z +∞ n1 n−1Xln(1 +t) (−1) ∞Pdt = c) Calculer u (α) pour α = 2, 3.