Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Fonction zêta et zêta alternée

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonction zêta et zêta alternée Exercice 4 [ 00908 ] [correction] On pose +∞ nX (−1)Exercice 1 [ 00907 ] [correction] ζ (x) =2 xnOn pose n=1 +∞X 1 1Montrer que la fonction ζ est définie et de classeC sur ]0,+∞[.ζ(x) = 2 xn n=1 ∞a) Montrer que la fonction ζ est définie et de classeC sur ]1,+∞[. Exercice 5 [ 00909 ] [correction] b) Etudier monotonie et convexité de la fonction ζ. On pose c) Déterminer la limite de la fonction ζ en +∞. +∞ nX+ (−1)d) un équivalent de la fonction ζ en 1 . ζ (x) =2 xne) En exploitant l’inégalité de Cauchy-Schwarz établir que x7→ ln(ζ(x)) est n=1 convexe. ∞Montrer que ζ est définie et de classeC sur ]0,+∞[.2 Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02834 ] [correction] Si x> 1, on pose +∞X 1 ζ(x) = xn n=1 a) Quelle est la limite de ζ(x) quand x→ +∞? P ζ(n) nb) Pour quels réels x la série x converge-t-elle? n c) Si +∞Xζ(n) nF(x) = x n n=2 1montrer que F est continue sur [−1,1[ et de classeC sur ]−1,1[. d) Donner une expression plus simple de F(x) Exercice 3 [ 00899 ] [correction] Soient +∞ +∞ n−1X X1 (−1) ζ(x) = et ζ (x) =2x xn n n=1 n=1 a) Déterminer les domaines de définition des fonctions ζ et ζ .2 b) Justifier que les fonctions ζ et ζ sont continues.2 1−xc) Etablir la relation ζ (x) = (1−2 )ζ(x) pour tout x> 1.2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.