Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de la convergence d'une suite de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de la convergence d’une suite de fonctions Exercice 6 [ 00873 ] [correction] On pose 2 −nx +f (x) =nx e avec x∈RnExercice 1 [ 00881 ] [correction] Soient α∈R et f : [0,1]→R définie par +n Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [a,+∞[ avec a> 0.n α nf (x) =n x(1−x)n Exercice 7 [ 00874 ] [correction]a) Etudier la limite simple de la suite (f ).n On poseb) Pour quels α∈R, y a-t-il convergence uniforme? 1 f (x) = avec x∈Rn 2 n(1+x ) Exercice 2 [ 00869 ] [correction] Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur ]−∞,−a]∪[a,+∞[ avecn Soit f :R→R définie parn a> 0. p 2f (x) = x +1/nn 1 Exercice 8 [ 00875 ] [correction]Montrer que chaque f estC et que la suite (f ) converge uniformément surRn n 1 On posevers une fonction f qui n’est pas de classeC . 12f (x) =x sin pour x> 0 et f (0) = 0n n nx +Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [−a,a] avec a> 0.Exercice 3 [ 00871 ] [correction] n On pose nu (x) =x lnx avec x∈ ]0,1] et u (0) = 0n n Exercice 9 [ 00890 ] [correction]Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (u ) sur [0,1].