Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de fonction définie par la somme d'une série

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de fonction définie par la somme d’une série a) Montrer que S est définie et continue sur I. b) Etudier la monotonie de S. c) CalculerExercice 1 [ 00898 ] [correction] S(x + 1)−S(x)Justifier l’existence de ++∞ d) Déterminer un équivalent de S(x) en−1 .X1 1 1 f(x) = + + e) Etablir x x +n x−n nXn=1 1 ∀n∈N,S(n) = kpour tout x∈R\Z. k=1 Montrer que f est 1-périodique et qu’on a f) En déduire un équivalent de S(x) en +∞. x x + 1 f +f = 2f(x) 2 2 Exercice 5 [ 00903 ] [correction] pour tout x∈R\Z. Pour x> 0, on pose +∞ nX (−1) S(x) =Exercice 2 [ 00900 ] [correction] n +x n=0 Soit +∞ 1 +?X a) Justifier que S est définie et de classeC surR .1 1 ψ(x) = − b) Préciser le sens de variation de S.n−x n +x n=2 c) Etablir Justifier et calculer Z ∀x> 0,S(x + 1) +S(x) = 1/x1 ψ(x) dx d) Donner un équivalent de S en 0. 0 e) un équivalent de S en +∞. Exercice 3 [ 00901 ] [correction] Pour x> 0, on pose Exercice 6 [ 03777 ] [correction]+∞X 1 Pour x> 0, on poseS(x) = 2 +∞ nn +n x X (−1)n=1 F (x) = +? n +xa) Montrer que S est bien définie surR . n=0 b) Montrer que S est continue. a) Montrer que F est bien définie. c) Etudier la monotonie de S. 1 ∞b) Montrer que F est de classeC , de classeC . d) Déterminer la limite en +∞ de S puis un équivalent de S en +∞. c) Simplifier e) un équivalent à S en 0.