Sujet : Analyse, Séries numériques, Transformation d'Abel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Transformation d’Abel Exercice 6 [ 03685 ] [correction] P anSoit (a ) une suite complexe. On suppose que la série diverge.n nP anEtablir que pour tout α∈ ]−∞, 1], la série diverge aussi.αExercice 1 [ 01041 ] [correction] n Soient (a ) une suite positive décroissante de limite nulle et (S ) une suite bornée.n nP a) Montrer que la série (a −a )S est convergente.n n+1 nP Exercice 7 [ 01028 ] [correction]b) En déduire que la série a (S −S ) est convergente.n n n−1 P cos(nx) Soit (u ) une suite décroissante de réels strictement positifs.n n>1c) Etablir que pour tout x∈R\2πZ, la série est convergente. Pn a) On suppose que u converge. Montrer que la série de terme généraln v =n(u −u ) converge etn n n+1 Exercice 2 [ 02352 ] [correction] +∞ +∞X XSoit θ∈R non multiple de 2π. On pose v = un n nX n=1 n=1cos(nθ) S = cos(kθ) et u =n n n b) Réciproquement, on suppose que la série de terme général n(u −u )k=0 n n+1 converge. Montrer que la série de terme général u converge si, et seulement si, lan a) Montrer que la suite (S ) est bornée.n suite (u ) converge vers 0.nb) En observant que cos(nθ) =S −S , établir que la série de terme général un n−1 n c) Donner un exemple de suite (u ) qui ne converge pas vers 0, alors que la sérienconverge. de terme général n(u −u ) converge.n n+12c) En exploitant l’inégalité|cosx|> cos x, établir que la série de terme général |u | diverge.