Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries doubles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries doubles Calculer +∞ +∞ +∞ +∞XX XX a et ap,q p,q Exercice 1 [ 01093 ] [correction] q=0p=0 p=0q=0 a) Soit α> 1. Déterminer un équivalent à Qu’en déduire? +∞X 1 R =n αk k=n+1 Exercice 5 Centrale MP [ 02424 ] [correction] Convergence et calcul, pour z complexe tel que|z| 1) établir l’égalitép,q 2 2(p+q )(p+q +1) ?(p,q)∈N×N ∞ ∞p 2p−1X Xa a = 2p 2p−11−a 1−a p=1 p=1 Exercice 4 [ 01096 ] [correction] On pose 2p+1 p p+1 a = − −p,q p+q+2 p+q+1 p+q+3 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6666 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Corrections 2 Corrections Cependant +∞ +∞ +∞ +∞X X X X1 3 3 =− =− 2 2 2 2Exercice 1 : [énoncé] n −p 4n 4p n=1p=1,p=n n=1 p=1 +∞R RP+∞ +∞1 dx 1 dxa) Puisque x7→ est décroissante : 6 6 doncα α α α doncx n+1 x k n x k=n+1 +∞ +∞ +∞ +∞X X X X1 1 +∞P =1 1 1 2 2 2 2∼ .α α−1 n −p n −pk α−1n p=1n=1,n=p n=1p=1,p=nk=n+1 +∞ +∞P P 1b) Par suite a un sens si, et seulement si, α> 2.αk n=0k=n+1 Exercice 3 : [énoncé] 1 Pc) Posons u = si k>n et u = 0 sinon.k,n α k,nk La série u est absolument convergente etp,q +∞P P P p>1 Pour tout n> 1, |u | converge et |u | converge donc on peutk,n k,n k>0 n>0k=0 +∞ 2q−1X |a|appliquer la formule de Fubini et affirmer |u | =p,q 2q−1+∞ +∞ +∞ +∞P P P P 1−|a| p=1u = u avec convergence des séries sous-jacentes.