Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signes quelconques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries à termes de signes quelconques Exercice 6 [ 01038 ] [correction] a) Justifier la convergence de la série numérique Exercice 1 [ 01033 ] [correction] kX (−1) Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument kconvergente n’est que semi-convergente. k>1 On pose +∞ kX (−1)Exercice 2 [ 01034 ] [correction] P R =n Déterminer la nature de u pour : kn k=n+1 n n(−1) (−1) b) Montrer que a) u = b) u =√n n +∞2 kXn +1 n+1 (−1) n p R +R =(−1) n n+1 2 k(k+1)c) u = ln 1+ d) u = cos π n +n+1n n k=n+1n+1 c) Déterminer un équivalent de R .n d) Donner la nature de la série de terme général R .n Exercice 3 [ 01035 ] [correction] Déterminer la nature de X n(−1) Exercice 7 [ 01039 ] [correction]√ n n! Déterminer la nature den>1 X π sin nπ+ n n>1 Exercice 4 [ 01036 ] [correction] Montrer que +∞ n nX Exercice 8 [ 03772 ] [correction](−1) 8 Donner la nature de la série de terme général(2n)! n=0 2u = cos n πln(1−1/n)est un réel négatif. n Exercice 9 [ 01040 ] [correction]Exercice 5 [ 01037 ] [correction] njOn rappelle la convergence de l’intégrale de Dirichlet √Donner la nature de la série des . n Z +∞ sint I = dt t0 Exercice 10 [ 01045 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général :En observant Z+∞ πX sint nn (−1)I = (−1) dt u =nπ+t n n0 Pn=0 1 n−1√ +(−1) kdéterminer le signe de I.