Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signe constant

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries à termes de signe constant Exercice 7 [ 01025 ] [correction] P Soit (u ) une suite décroissante réelle. On suppose que la série u converge.n n nP Exercice 1 [ 01020 ] [correction] a) On pose S = u . Déterminer la limite de S −S .n k 2n n k=0Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : b) En déduire 2nu → 0.2n n chn c) Conclure que nu → 0.na) u = b) u =n n2n + 1 ch2n n 1 1 1 c) u =√ −√ d) u = e− 1 +n n Exercice 8 [ 03233 ] [correction]2 2 nn − 1 n + 1 Soient (u ) une suite décroissante de réels positifs et α un réel positif.n On suppose la convergence de la série XExercice 2 [ 01021 ] [correction] αn unDéterminer la nature de la série de terme général Montrer1/n si n est un carré α+1u =n 2 n u → 0n1/n sinon Exercice 9 [ 01026 ] [correction] Exercice 3 [ 01022 ] [correction]P P Soient (u ) une suite de réels positifs etnSoient u et v deux séries à termes strictement positifs convergentes.n n unMontrer que les suivantes sont aussi convergentes v =n 1 +uX X X n√ u vn n P Pmax(u ,v ), u v etn n n n Montrer que les séries u et v sont de même nature.u +v n nn n Exercice 10 [ 01029 ] [correction]Exercice 4 [ 01023 ] [correction] P [Règle de Raabe-Duhamel]Soit u une série à termes positifs convergente.n Soient (u ) et (v ) deux suites de réels strictement positifs.