Sujet : Analyse, Séries numériques, Série dont le terme général est défini par une suite récurrente

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Série dont le terme général est défini par une suite Exercice 6 X MP [ 02961 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle telle que u > 0 et pour tout n> 0,n 0récurrente u = ln(1+u )n n−1 Exercice 1 [ 01097 ] [correction] Etudier la suite (u ) puis la série de terme général u .n nSoit (u ) la suite définie par u ∈ [0,π] et pour tout n∈N, u = 1−cosu .n 0 n+1 n Montrer que u → 0 et déterminer la nature de la série de terme général u .n n Exercice 7 [ 01101 ] [correction] Soit (u ) la suite définie par u ∈ ]0,1[ et pour tout n∈N,n 0 Exercice 2 [ 01098 ] [correction] √ 2Soit (u ) la suite définie par u > 0 et pour tout n∈N, u = 1+u . u =u −un 0 n+1 n n+1 n n Montrer que (u ) converge vers un réel ‘. Quelle est la nature de la série de termen a) Existence et éventuellement calcul degénéral u −‘.n +∞ +∞X X 2u et ln(1−u )nn Exercice 3 [ 01099 ] [correction] n=0 n=0 Soient u ∈ ]0,π/2[ et u = sinu pour tout n∈N.0 n+1 n + b) Nature de la série de terme général u ?na) Montrer que u → 0 .n P 3b) Exploiter u −u pour montrer que u converge.n+1 n n n>0 P 2 Exercice 8 X MP [ 02951 ] [correction]c) Exploiter lnu −lnu pour montrer que u diverge.n+1 n n n>0 Soit (u ) la suite définie par u ∈ [0,1] etn n>0 0 2∀n∈N,u =u −un+1 n n Exercice 4 [ 03012 ] [correction] a) Quelle est la nature de la série de terme général u ?