Sujet : Analyse, Séries numériques, Familles sommables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 P 2Familles sommables a) Montrer la convergence et calculer la somme de la série v .nP b) Quelle est la nature de la série |u v |?n n c) Déterminer les bornes supérieure et inférieure deExercice 1 [ 02631 ] [correction] P 1Déterminer la nature de selon α∈R.α +∞(m+n) Xm,n>1 |u v |n n n=0 Exercice 2 [ 02636 ] [correction] pour σ parcourant l’ensemble des bijections deN. 1On note ‘ (Z) l’ensemble des suites complexes u = (u ) sommables.n n∈Z 1a) Soit u,v∈‘ (Z). Montrer que pour tout n∈Z, la famille (u v ) estk n−k k∈Z sommable. P 1 1b) Pouru,v∈‘ (Z), on pose (u ? v) = u v . Montrer queu ? v∈‘ (Z) etn k n−k k∈Z que X X X (u ? v) = u vn n n n∈Z n∈Z n∈Z c) Montrer que la loi ? ainsi définie est commutative, associative et possède un neutre. 1d) La structure (‘ (Z), ?) est-elle un groupe? Exercice 3 [ 02427 ] [correction] Etablir que pour x∈ ]−1,1[, +∞ +∞nX Xx n= d(n)x n1−x n=1 n=1 en notant d(n) le nombre de diviseurs positifs de n. Exercice 4 [ 03412 ] [correction] Soit (z ) une suite de complexes non nuls telles quen n =m⇒|z −z |> 1n m 3Montrer la convergence de la série de terme général 1/z .n Exercice 5 [ 03426 ] [correction] P 2Soit (u ) une suite réelle telle qu’il y ait convergence de la série un n Soit σ une bijection deN et (v ) la suite déterminée parn ∀n∈N,v =un σ(n) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.