Sujet : Analyse, Séries numériques, Etude asymptotique de séries

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude asymptotique de séries Exercice 5 [ 01091 ] [correction] On pose nY 3k− 1Exercice 1 Centrale MP [ 01056 ] [correction] u =n 3ka) Donner un développement asymptotique à deux termes de k=1 nX a) Montrer qu’il existe des constantes α et β telles quelnp u =n p p=2 lnu =α lnn +β +o(1)n On pourra introduire la fonction f :t7→ (lnt)/t. En déduire un équivalent de u .nPb) A l’aide de la constante d’Euler, calculer b) Déterminer la nature de u .n n>1 +∞X lnnn(−1) n n=1 Exercice 6 [ 01092 ] [correction] Déterminer un équivalent simple de : Exercice 2 [ 01089 ] [correction] +∞ +∞X X1 1On pose a) b)nX k(nk + 1) k(n +k)1 k=1 k=1S = √n k + kk=1 Donner un équivalent simple de S .n Exercice 7 [ 02376 ] [correction] Montrer que Soit (u ) une suite de réels strictement positifs vérifiantnS = lnn +C +o(1)n u α 1n+1 = 1− +O avec α∈R 2u n nnExercice 3 [ 01090 ] [correction] POn pose a) Pour quelles valeurs de α la série u converge?nn PX n1 b) Pour v de α la série (−1) u converge?nS = √n 2k + kk=1 Montrer que (S ) converge vers une constante C.