Sujet : Analyse, Séries numériques, Comparaison séries intégrales

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Comparaison séries intégrales Exercice 7 [ 01065 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général √ √ √Exercice 1 [ 01059 ] [correction] 1+ 2+···+ n Soit α 1, on pose +∞P 1Donner un équivalent simple à R = pour α> 1 donné.N α N +∞n X X1 1n=N+1 S = et R =N Nα αn n n=1 n=N+1 PExercice 3 [ 01061 ] [correction] RnEtudier, selon α, la nature de la série . SnEn exploitant une comparaison avec des intégrales établir : n>1 n nX X√ √2 1 a) k∼ n n b) ln(n!)∼nlnn c) ∼ ln(lnn) 3 klnk Exercice 9 [ 01067 ] [correction]k=1 k=2 nP P Soit u une série divergente de réels strictement positifs. On note S = u .n n k n>0 k=0 Exercice 4 [ 01062 ] [correction] Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour tout α> 1, il y a Déterminer la nature de la série de terme général convergence de la série X un converge1 αSnu =n n>1αn(lnn) Exercice 10 [ 01068 ] [correction]Exercice 5 [ 01063 ] [correction] Pour α> 1 on poseDéterminer la nature de la série de terme général +∞X 1 +∞ ζ(α) =X α1 n n=1u =n 2k +k=n+1 Déterminer la limite de (α−1)ζ(α) quand α tend vers 1 Exercice 6 [ 01064 ] [correction] Exercice 11 [ 01069 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer 1 +∞u =n X2 2 a(ln2) +···+(lnn) lim 2 2a→+∞ n +a n=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.