Sujet : Analyse, Séries numériques, Application des séries à l'étude de suites

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Application des séries à l’étude de suites Exercice 5 [ 01074 ] [correction] nn!eMontrer que u = a une limite non nulle.n n+1/2n Exercice 1 [ 01070 ] [correction] Calculer la limite de Exercice 6 [ 01075 ] [correction] Soit1 1 1 1 1 n ku = 1 + +··· + − + +··· + Yn (−1)22 n n + 1 n + 2 n √P = 1 +n k k=2 Montrer qu’il existe λ∈R tel queExercice 2 [ 01071 ] [correction] λSoit a> 0. e P ∼√na) Déterminer la limite de la suite de terme général n a(a + 1)... (a +n− 1) u =n n! Exercice 7 [ 01076 ] [correction] Soit (u ) une suite complexe terme général d’une suite absolument convergente.nb) Quelle est la nature de la série de terme général u ?n nQ a) Montrer que P = (1 +|u|) convergen k k=1 nQExercice 3 [ 01072 ] [correction] b) Montrer que Π = (1 +u ) converge en exploitant le critère de Cauchy.n kPour tout n∈N, soit k=1 (2n)! u =n n 2(2 n!) Exercice 8 [ 01077 ] [correction] a) Déterminer un équivalent de Etudier la limite de Z 1 n(1−u) − 1 lnu − lnun+1 n u = du + lnnn u0 En déduire que u → 0.n √ b) En s’inspirant de ce qui précède, établir que nu →C > 0 (on ne chercheran Exercice 9 [ 01078 ] [correction] pas expliciter la valeur de C). Soient 0 0 tel quen 2 n n n(2 n!) Aa) Déterminer un équivalent de lnu − lnu . En déduire que u → 0.n+1 n n u ∼P n b−anb) Montrer que nu → +∞. En déduire la nature de la série u .n n unc) On pose v = . En observant et en sommant les égalitésn c) On suppose b−a> 1.