Sujet : Analyse, Séries entières, Séries entières et équations différentielles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries entières et équations différentielles Exercice 6 [ 01018 ] [correction] Former le développement en série entière en 0 de Exercice 1 [ 01013 ] [correction] x7→ sh(arcsinx) Soient p∈N et ! +∞X n+p nf(x) = x Exercice 7 CCP MP [ 03694 ] [correction]p n=0 a) Etudier la parité de Z xa) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction. 2 2x /2 −t /2 0 f :x7→ e e dtb) Calculer f(x) en étudiant (1−x)f (x). 0 b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle à déterminer. c) Justifier que f est développable en série entière et donner ce développement.Exercice 2 [ 01014 ] [correction] Soit f définie sur ]−1,1[ par arcsinx f(x) =√ Exercice 8 Mines-Ponts PC [ 01019 ] [correction] 21−x Former de deux façons le développement en série entière en 0 de a) Justifier que f est développable en série entière sur ]−1,1[. Z x 2 22 0 −x tb) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1−x )y −xy = 1. f :x7→ e e dt 0c) Déterminer le développement en série entière de f sur ]−1,1[. En déduire la relation ! ! nX k nn 2nExercice 3 CCP MP [ 03699 ] [correction] (−1) 4 = a) Quel est l’ensemble de définition de 2k+1 k n (2n+1) k=0 arcsinx f(x) =√ ? 21−x Exercice 9 Centrale MP [ 02481 ] [correction] On considère une suite réelle (u ) vérifiantb) Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire du premier n n>0 ordre avec pour condition initiale f(0) = 0.