Sujet : Analyse, Séries entières, Rayon et domaine de convergence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rayon et domaine de convergence Exercice 7 [ 03309 ] [correction]P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R> 0.n Déterminer le rayon de convergence deExercice 1 [ 00971 ] [correction] XDéterminer le rayon de convergence des séries entières : an nz 2 nX X X X n!n +1 2 lnn nn −n n 2n 3na) z b) e z c) z d) z n 23 n n! n>0 n>0 n>1 n>0 Exercice 8 [ 03484 ] [correction] Soit (a ) une suite de réels tous non nuls.n Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous Déterminer le rayon de convergence de : X X 1 ! n na z et znX X X X2n √ √ (3n)! n+1 an n n n n na) n!z b) z c) z d) n+1− n z 3n (n!) n>0 n>0 n>0 n>0 Exercice 9 [ 00975 ] [correction]p n +On suppose que |a |→‘∈R ∪{+∞}.nExercice 3 [ 00972 ] [correction] P nDéterminer le rayon de convergence de a z .nDéterminer le rayon de convergence des séries entières : X X X 2 sin(n)n n na) z b) sin(n)z c) z 2n Exercice 10 [ 00976 ] [correction]n>0 n>0 n>1 P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R. On posen an Exercice 4 [ 00973 ] [correction] b =n 1+|a |nDéterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : PX X 0 net on note R le rayon de convergence de b z .n n nd(n)z et s(n)z 0a) Montrer que R > max(1,R) n>1 n>1 0 0b) Etablir que si R > 1 alors R =R. 0où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de c) Exprimer alors R en fonction de R.